Το τρίτο πρόβλημα του Hilebrt και η αναλλοίωτη του Dehn

O μεγάλος μαθηματικός David Hilbert είχε παρουσιάσει στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900 μια σειρά από 23 άλυτα προβλήματα. Έκτοτε πολλά από αυτά απαντήθηκαν, μεταξύ αυτών και το τρίτο κατά σειρά.Η διατύπωση του τρίτου προβλήματος του Hilbert έχει ως εξής: αν δυο πολύεδρα έχουν ίσους όγκους, είναι πάντοτε δυνατός ο τεμαχισμός του ενός σε πεπερασμένο αριθμό κομματιών, τα οποία με επανασυγκόλληση να μας δώσουν το δεύτερο; H απάντηση στην ανάλογη ερώτηση με ισεμβαδικά επίπεδα πολύγωνα είναι καταφατική.
Ο Hilbert είκαζε ότι για τα πολύεδρα ίσων όγκων αυτό δεν είναι πάντα δυνατό, κάτι που αποδείχθηκε τελικά από τον Max Dehn. Ας σημειωθεί πως χωρίς να το γνωρίζουν οι Hilbert και Dehn, το τρίτο πρόβλημα είχε διατυπωθεί πρώτα από τον Władysław Kretkowski για ένα μαθηματικό διαγωνισμό του 1882 από την Ακαδημία Τεχνών και Επιστημών της Κρακοβίας και λύθηκε από τον Antoni Birkenmajer με διαφορετική μέθοδο από τον Dehn. Ο Birkenmajer δεν δημοσίευσε ποτέ το αποτέλεσμα και το αρχικό χειρόγραφο που περιείχε τη λύση του ανακαλύφθηκε χρόνια αργότερα.
Στην επίλυση του τρίτου προβλήματος χρησιμοποιείται η αναλλοίωτη Dehn , η οποία περιγράφεται στο σημερινό βίντεο του Numberphile που ακολουθεί:


physicsgg.me