Η εξίσωση του Schrödinger

Στα προηγούμενα σημειώματα αναφερθήκαμε στη σύγχρονη κατανόηση για την ύλη (φωτεινή και σκοτεινή) και στις θεμελιώδεις δυνάμεις που διαμόρφωσαν το σύμπαν μετά τη γέννησή του. Η αφήγηση βασίζεται σε δύο θεωρίες-πλαίσια της σύγχρονης φυσικής: στη Θεωρία της Σχετικότητας και στην Κβαντομηχανική. Στο παρόν σημείωμα θα εστιάσουμε σε ένα από τα θεμελιώδη συστατικά της κβαντομηχανικής: στην εξίσωση του Schrödinger και στον ρόλο που παίζουν οι πιθανότητες στην περιγραφή του μικρόκοσμου.
Το όνομα του Αυστριακού φυσικού Erwin Schrödinger είναι συνώνυμο για πολλούς με το παράδοξο «της γάτας» και την ανάδυση της κβαντομηχανικής που επέτρεψε την κατανόηση του μικρόκοσμου και οδήγησε σε ένα πλήθος καθημερινών εφαρμογών. Πώς όμως οδηγήθηκε ο Schrödinger στη διάσημη εξίσωση που ουσιαστικά σηματοδοτεί και μία αλλαγή επιστημονικού παραδείγματος, τόσο χαρακτηριστική για τον 20ό αιώνα; Γύρω στο 1926, ο Schrödinger παρουσιάζει μία θεωρία που εξηγούσε το φάσμα των ατομικών γραμμάτων υδρογόνου. Για να το πετύχει αυτό, θα εισαγάγει μία εξίσωση —που φέρει το όνομά του— η οποία άνοιξε τον δρόμο για τη θεμελίωση μιας γενικής θεωρίας μηχανικών κυμάτων που περιγράφει την παρατήρηση στον μικρόκοσμο, στο λεγόμενο κβαντικό επίπεδο.
Ένα από τα μεγαλύτερα ερωτήματα των αρχών του προηγούμενου αιώνα ήταν η σταθερότητα των ατόμων. Στα πλαίσια της κλασικής φυσικής, ένα περιστρεφόμενο ηλεκτρόνιο εκπέμπει συνεχώς ενέργεια, κάτι που περιγράφεται από τις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού που ο Μάξγουελ είχε ήδη εισαγάγει τον 19ο αιώνα. Ένα περιστρεφόμενο άτομο θα έπρεπε επομένως σύντομα να χάσει όλη την ενέργειά του με τη μορφή ακτινοβολίας και σύντομα να καταρρεύσει στον πυρήνα, οδηγώντας ουσιαστικά και στην κατάρρευση των ατόμων. Προκειμένου να απαντήσει σε αυτό το ερώτημα, ο Δανός φυσικός Νιελς Μπορ πρότεινε το 1913 την ύπαρξη συγκεκριμένων ενεργειακών σταθμών στο άτομο και συνέδεσε την εκπομπή ακτινοβολίας από τα ηλεκτρόνια μόνο με την αλλαγή (μετάπτωση) μεταξύ συγκεκριμένων ενεργειακών σταθμών. Με άλλα λόγια, το ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να εκπέμψει οποιαδήποτε ενέργεια αλλά μόνο συγκεκριμένα ποσά που αντιστοιχούν σε ενεργειακές διαφορές μεταξύ αυτών των ενεργειακών στιβάδων. Ήταν ένα αρκετά αυθαίρετο μοντέλο που δεν στηρίζονταν σε κάποια θεμελιώδη αρχή. Ωστόσο, φάνηκε να δουλεύει — γεγονός που εξέπληξε την επιστημονική κοινότητα της εποχής.
Το επόμενο βήμα στη βαθύτερη κατανόηση του μοντέλου ήρθε περίπου μία δεκαετία μετά, από τον Γάλλο φυσικό Ντε Μπρολί. Με μία τολμηρή υπόθεση, ο Ντε Μπρολί απέδωσε κυματικές ιδιότητες στο ηλεκτρόνιο. Υπέθεσε πως η τροχιά του μπορούσε να περιγραφεί ως κύμα. Η υπόθεση αυτή άνοιγε τον δρόμο της κατανόησης πως η ύλη έχει και κυματικές ιδιότητες ταυτόχρονα με τις σωματιδιακές που ήταν ήδη γνωστές. Ήδη από το 1800, το πείραμα των δύο σχισμών που πραγματοποίησε ο Thomas Young έδειξε πως η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (το φως) εκδηλώνει ταυτόχρονα και σωματιδιακή και κυματική συμπεριφορά. Η υπόθεση του Ντε Μπρολί γενίκευε την παρατήρηση, για να δείξει πως, όχι μόνο τα φωτόνια, αλλά και σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο εκδηλώνουν ταυτόχρονα κυματική και σωματιδιακή συμπεριφορά.
Η υπόθεση αυτή φάνηκε να γοητεύει τον νεαρό φυσικό Schrödinger, που έγραψε στις 3 Νοεμβρίου και στις 16 Νοεμβρίου του 1925 προς τον Einstein:
Πριν λίγες ημέρες διάβασα με μεγάλο ενθουσιασμό τη διδακτορική εργασία του Louis de Broglie που έπεσε στα χέρια μου. […] Πέρασα μεγάλο μέρος του χρόνου μου απασχολημένος με την ιδιοφυή θεωρία του Louis de Broglie. Είναι εξαιρετικά συναρπαστική, αν και παρουσιάζει ακόμη μεγάλες δυσκολίες.
Ποιες είναι αυτές οι δυσκολίες; Σχετίζονται με το γεγονός πως δεν υπήρχε μία εξίσωση που θα μπορούσε να περιγράψει τις κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων. Και ακριβώς στη διατύπωση αυτής της εξίσωσης επικεντρώθηκε ο Schrödinger. Πρόκειται για μία εξίσωση, οι λύσεις της οποίας περιγράφουν με ακρίβεια την κίνηση των κυμάτων που σχετίζονται με την περιγραφή της ύλης. Η διατύπωσή της έγινε από τον Αυστριακό φυσικό ενώ ήταν ήδη καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης και κατά τη διάρκεια της παραμονής του σε ένα σανατόριο στις Άλπεις, καθώς από νεαρή ηλικία υπέφερε από φυματίωση. Η δουλειά του θα οδηγήσει στην απονομή του Νόμπελ Φυσικής το 1933.
Θα πρέπει στο σημείο αυτό να διευκρινίσουμε πως η συνάρτηση που αντιστοιχεί σε ένα κβαντικό σύστημα ονομάζεται κυματοσυνάρτηση, επειδή είναι ανάλογη με τις συναρτήσεις που περιγράφουν την εξέλιξη των κυμάτων στην κλασική φυσική. Σε κάθε φυσικό σύστημα, παρατηρούνται κάποια χαρακτηριστικά μεγέθη που μπορούμε να υπολογίσουμε μέσω της εξίσωσης του Schrödinger. Η εξίσωση αυτή περιγράφει την εξάρτηση από τη θέση της συνάρτησης ενός συστήματος και την εξέλιξή της στον χρόνο. Επομένως, εάν γνωρίζουμε την κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα χαρακτηριστικά μεγέθη του συστήματος και τον τρόπο με τον οποίο αυτά εξελίσσονται στον χρόνο. Η κυματοσυνάρτηση περιλαμβάνει όλη την πληροφορία που μπορούμε να ανακτήσουμε από αυτό το σύστημα.
Ωστόσο, σε αντίθεση με τις εξισώσεις της κλασικής φυσικής όπου οι Νόμοι του Νεύτωνα προσδιορίζουν την τροχιά ενός σωματιδίου, η εξίσωση του Schrödinger προσδιορίζει πιθανές τροχιές και την πιθανότητα με την οποία αυτές μπορεί να συμβούν. Η παρατήρηση αυτή θέτει τον νευτώνειο ντετερμινισμό σε νέα βάση, εισάγοντας την έννοια της πιθανότητας στο αποτέλεσμα κάθε μέτρησης. Η έννοια αυτή ήταν θεμελιακά διαφορετική για τη μέχρι τότε φυσική και συνεπώς οδήγησε σε αντικρουόμενες ερμηνείες — αλλά και σε ένα από τα πιο διάσημα παράδοξα στην ιστορία της επιστήμης, τη διάσημη «γάτα του Schrödinger». Πρόκειται για ένα νοητικό πείραμα που παρουσίασε ο ίδιος ο Schrödinger το 1935, με σκοπό να αποκαλύψει πώς συγκεκριμένες ερμηνείες της κβαντομηχανικής έρχονται σε αντίθεση με την καθημερινή αντίληψη.
Στο περίφημο αυτό πείραμα, λοιπόν, μία γάτα τοποθετείται σε ένα κουτί, στο οποίο υπάρχει μία ραδιενεργή πηγή κι ένας ανιχνευτής ραδιενέργειας. Τη στιγμή που ο ανιχνευτής ανιχνεύει την ύπαρξη ραδιενέργειας, απελευθερώνει μία ποσότητα δηλητηρίου, θανάσιμου για τη γάτα. Καθόσον η διάσπαση της ραδιενεργού πηγής είναι ένα τυχαίο φαινόμενο, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν η γάτα είναι ζωντανή ή νεκρή ανά πάσα χρονική στιγμή. Η κατάσταση αυτή περιγράφεται με όρους κβαντομηχανικής ως υπέρθεση δύο καταστάσεων με ίσες πιθανότητες: της κατάστασης μιας ζωντανής και της κατάστασης μιας νεκρής γάτας. Το παράδοξο έγκειται στο γεγονός πως, μέχρι να ανοίξουμε το κουτί και να παρατηρήσουμε τι έχει συμβεί, η γάτα περιγράφεται ταυτόχρονα σαν ζωντανή και σαν νεκρή. Η μοίρα της είναι «συνδεδεμένη με το εάν το άτομο έχει διασπαστεί ή όχι» ή, με τα λόγια του Schrödinger, η γάτα είναι «ζωντανή και νεκρή σε ίσα μέρη».
Το ίδιο ισχύει και για την περιγραφή του ατόμου, που περιγράφεται ως μία υπέρθεση διαφορετικών καταστάσεων, καθεμία εκ των οποίων σχετίζεται με μία συγκεκριμένη πιθανότητα. Στις αρχές του 20ού αιώνα, η εξίσωση του Schrödinger μας επέτρεψε να καταλάβουμε πως, όσο προσπαθούμε να περιγράψουμε τι γίνεται σε κλίμακες μικρότερες από αυτές του ατόμου, τότε η νευτώνεια φυσική παύει να είναι αρκετή για να περιγράψει τα δεδομένα. Οι κανόνες που χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε την κίνηση μιας μπάλας ή ενός δορυφόρου δεν είναι ίδιοι με αυτούς που εξηγούν πώς δομείται το άτομο ή την κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από τους πυρήνες. Το πείραμα της γάτας εξηγούσε ορισμένα από τα προβλήματα που ο Schrödinger κατανόησε πως σχετίζονται με την εφαρμογή της κβαντικής θεωρίας στην καθημερινή ζωή. Ακριβώς αυτή η διορατική ματιά είναι που τον ξεχωρίζει ως διανοητή, καθώς στη συνέχεια της καριέρας του ο Schrödinger δεν ασχολήθηκε μόνο με την κβαντομηχανική, αλλά δούλεψε και πάνω σε διάφορους άλλους κλάδους της φυσικής, όπως η θερμοδυναμική και η στατιστική φυσική.
Το βαθύτερο ενδιαφέρον του να γνωρίσει τη φύση αποτυπώνεται και στην προσπάθειά του να προσεγγίσει προβλήματα βιολογίας από τη σκοπιά της φυσικής, όπως αυτή αποτυπώνεται στο διάσημο πλέον έργο του «Τι είναι ζωή;» (Εκδόσεις Ροπή, 2015). Πρόκειται για μία σειρά διαλέξεων που έδωσε στο Trinity College του Δουβλίνου. Το βασικό ερώτημα που θα προσπαθούσε να απαντήσει ήταν το εξής: Πώς μπορούν να περιγραφούν από τους νόμους της φυσικής και της χημείας γεγονότα που λαμβάνουν χώρα εντός των ορίων ενός ζωντανού οργανισμού; Πρόκειται για ένα πρωτότυπο και όμορφο ερώτημα. Ο Schrödinger προσπαθεί να κατανοήσει τον τρόπο με τον οποίο οι ζωντανοί οργανισμοί εμφανίζουν μορφές οργάνωσης και αψηφούν φαινομενικά τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, σύμφωνα με τον οποίο η εντροπία-αταξία του Σύμπαντος τείνει να αυξηθεί. Οι διαλέξεις του Schrödinger δεν αποτελούν όμως μία προσπάθεια να ενωθεί η φυσική με την βιολογία: εισάγουν επίσης ένα σύνολο εννοιών που θα επηρεάσουν τη μετέπειτα σκέψη και εξέλιξη της επιστήμης της βιολογίας. Δεν είναι υπερβολή να πούμε πως οι απόψεις που διατυπώνει ο Αυστριακός φυσικός στο βιβλίο του αυτό διαμόρφωσαν σε ένα βαθμό τον τρόπο που κατανοούμε μέχρι και σήμερα το φαινόμενο της ζωής. Στις τελευταίες πέντε σελίδες του βιβλίου ο Schrödinger ξεκινά μία μεγάλη διανοητική περιπέτεια. Στόχος του δεν είναι να μιλήσει μόνο για την επιστήμη της φυσικής στα πλαίσια που είχε αναπτυχθεί μέχρι τότε, αλλά να θέσει ερωτήματα γύρω από τον τρόπο που οι άνθρωποι κατανοούν και παρατηρούν το περιβάλλον τους και την επαναδιατύπωση της σχέσης μεταξύ του ανθρώπου και της αλήθειας.
Το ενδιαφέρον αυτό θα τον οδηγήσει να δώσει μία δεύτερη σειρά διαλέξεων το 1950 στο Δουβλίνο. Οι διαλέξεις αυτές συγκεντρώθηκαν στο βιβλίο, «Επιστήμη και ανθρωπισμός». Εκεί, o Schrödinger καταπιάνεται με βαθύτερα φιλοσοφικά ερωτήματα, όπως το ποια είναι η αξία της επιστημονικής έρευνας, πώς άλλαξε η κβαντομηχανική τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τη φύση της ύλης και πώς συνδέεται με την ύπαρξη της ανθρώπινης ελεύθερης βούλησης. Προβληματίζεται γύρω από τα όρια που θέτει η επιστήμη μεταξύ της ανθρώπινης αντίληψης και της πραγματικότητας:
Δεν ανήκουμε στον υλικό κόσμο που η επιστήμη κατασκευάζει για εμάς. Δεν είμαστε εντός του. […] Πιστεύουμε σε αυτόν επειδή βρισκόμαστε μέσα στην εικόνα που δημιουργεί αυτή η πραγματικότητα. Τα σώματά μας βρίσκονται μέσα σε αυτή την εικόνα. Τα σώματά μας ανήκουν σε αυτή.
Ο Erwin Schrödinger κατάφερε να κατανοήσει και να δώσει ώθηση στη φυσική του 20ού αιώνα — μία ώθηση που οδηγεί και σήμερα τις εξελίξεις. Ωστόσο, δεν έμεινε ευχαριστημένος από την αδυναμία των θεωριών να εξηγήσουν συγκεκριμένα φαινόμενα και οδηγήθηκε σε ένα γνήσιο στοχασμό γύρω από το πλαίσιο και τη βαθύτερη φύση αυτών των θεωριών. Προσέγγισε την επιστήμη κατανοώντας τα όρια και τους περιορισμούς της και οδηγήθηκε σε μία φιλοσοφία που τονίζει τη σημασία της γνώσης σε σχέση με την κατανόηση. Στο έργο του «Επιστήμη και Ανθρωπισμός» (Ροπή, 2016), συναντάμε ένα απόσπασμα που αποτελεί την επιτομή της διανοητικής του προσπάθειας —τόσο στην επιστήμη όσο και την φιλοσοφία— και αντικατοπτρίζει τις απόψεις που ο Schrödinger διατήρησε μέχρι το τέλος της ζωής του:
Να θυμάστε πάντα τον ρόλο που έχετε ως συγκεκριμένα άτομα/υποκείμενα εντός του κωμικοτραγικού χαρακτήρα της ζωής. Να προσπαθείτε να είστε πάντα σε επαφή με τη ζωή — όχι μόνο με την καθημερινότητα και τις πρακτικές όψεις του βίου αλλά με το ιδεατό υπόβαθρο που δίνει νόημα στη ζωή. Αυτό είναι το πιο σημαντικό. Ταυτόχρονα, να φροντίζετε να μένει και η ζωή σε επαφή μαζί σας. Αν δεν καταφέρετε μακροπρόθεσμα να κοινωνήσετε στους πάντες το έργο σας και αυτά που καταφέρατε, τότε αυτά ίσως να μην είχαν και τόση αξία.
Ο Schrödinger υπήρξε από πολλές απόψεις υπόδειγμα επιστήμονα με γνήσια διανοητική αγωνία να κατανοήσει τα όρια της επιστήμης και όσων μπορεί αυτή να μας πει για τον κόσμο. Μας υπενθυμίζει πως η επιστημονική πρόοδος πρέπει να συνοδεύεται από την πνευματική πρόοδο του καθενός και πως κανείς δεν πρέπει να μένει αδιάφορος απέναντι στα μεγάλα ερωτήματα με τα οποία βρίσκεται αδιάκοπα αντιμέτωπη η ανθρωπότητα: να διατηρεί μέχρι τέλους τη δυνατότητα του αναστοχασμού, αυτή που δίνει νόημα και αξία στην ίδια την ανθρώπινη ζωή.
Οφείλω θερμές ευχαριστίες στον Δρα Σπύρο Αργυρόπουλο (University of Iowa, ATLAS) και στον Δρα Νικόλαο Ρομποτή (University of Washington, ATLAS) για τις πολύτιμες παρατηρήσεις τους.

Πηγή:http://amagi.gr/  του Πάνου Χαρήτου