Τετάρτη, 3 Μαΐου 2017

Πίνοντας καφέ από την Λαγκρανζιανή κούπα των στοιχειωδών σωματιδίων


Το Καθιερωμένο Πρότυπο της Σωματιδιακής Φυσικής είναι μια από τις πιο επιτυχημένες θεωρίες στη φυσική και περιγράφει τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των στοιχειωδών σωματιδίων. Κωδικοποιείται σε μια συμπαγή περιγραφή, την επονομαζόμενη «Λαγκρανζιανή», η οποία χωράει σε μπλουζάκια και κούπες καφέ. Αυτή όμως η μαθηματική διατύπωση είναι πολύπλοκη και μόνο σπάνια αναπτύσσεται στο μάθημα της φυσικής. Ως εκ τούτου, για να βοηθήσουμε τους καθηγητές στην δύσκολη προσπάθειά τους, δίνουμε μια ποιοτική ερμηνεία των όρων της Λαγκρανζιανής και συζητάμε την ερμηνεία τους με βάση τα σχετικά διαγράμματα Feynman.


Τα παραπάνω αναφέρονται στην περίληψη του άρθρου των Julia Woithe, Gerfried J. Wiener και Frederik Van der Veken με τίτλο «Let’s have a coffee with the Standard Model of particle physics!» , του οποίου μια ελεύθερη απόδοση στα ελληνικά ακολουθεί στη συνέχεια.

1. Εισαγωγή

Το Καθιερωμένο Πρότυπο της σωματιδιακής φυσικής είναι το πιο σημαντικό επίτευγμα της φυσικής των υψηλών ενεργειών μέχρι σήμερα. Αυτή η εξαιρετικά κομψή θεωρία ταξινομεί τα στοιχειώδη σωματίδια βάσει των αντίστοιχων φορτίων τους και περιγράφει το πως αλληλεπιδρούν διαμέσου των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων. Σ’ αυτό το πλαίσιο, ένα φορτίο είναι μια ιδιότητα ενός στοιχειώδους σωματιδίου η οποία καθορίζει την θεμελιώδη αλληλεπίδραση από την οποία επηρεάζεται. Στη συνέχεια θα λέμε ότι η αντίστοιχη αλληλεπίδραση του σωματιδίου συζεύγνυται με ένα συγκεκριμένο φορτίο.
Για παράδειγμα, τα γλοιόνια, τα σωματίδια που μεταφέρουν την ισχυρή αλληλεπίδραση, συζευγνύονται με σωματίδια που φέρουν χρωματικό φορτίο. Από τις τέσσερις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις στη φύση, όλες εκτός από την βαρύτητα, περιγράφονται από το Καθιερωμένο Πρότυπο της σωματιδιακής φυσικής: σωματίδια με ένα ηλεκτρικό φορτίο επηρεάζονται από την ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση (Quantum ElectroDynamics ή QED συντομογραφικά), σωματίδια με ασθενές φορτίο επηρεάζονται από την ασθενή αλληλεπίδραση (Quantum Flavour Dynamics ή QFD), και τα σωματίδια με ένα χρωματικό φορτίο επηρεάζονται από την ισχυρή αλληλεπίδραση (Quantum ChromoDynamics ή QCD).
Σε αντίθεση με τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις, το πεδίο Brout–Englert–Higgs (BEH) δρα με έναν ιδιαίτερο τρόπο. Επειδή πρόκειται για βαθμωτό πεδίο, προκαλεί αυθόρμητη ρήξη συμμετρίας, η οποία με τη σειρά της δίνει μάζα σε όλα τα σωματίδια με τα οποία αλληλεπιδρά (η διαδικασία αυτή αποκαλείται συνήθως μηχανισμός Higgs). Επιπλέον, το σωματίδιο Higgs (H) συζεύγνυται με κάθε άλλο σωματίδιο που έχει μάζα (συμπεριλαμβανομένου και του ιδίου).
Οι αλληλεπιδράσεις πραγματοποιούνται με την μεσολάβηση των αντίστοιχων σωματιδίων, φορέων αλληλεπίδρασης: τα φωτόνια (γ) για τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις, τα ασθενή μποζόνια (W–, W+ και Ζ0) για την ασθενή αλληλεπίδραση, και τα γλοιόνια (g) για την ισχυρή αλληλεπίδραση. Επιπλέον, ένα στοιχειώδες σωματίδιο μπορεί να «αισθανθεί» περισσότερες από μια θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις, όταν διαθέτει διάφορα φορτία (βλέπε σχήμα 1). Για παράδειγμα, εξαιτίας του ηλεκτρικού και ασθενούς φορτίου, ένα μιόνιο επηρεάζεται και από την ηλεκτρομαγνητική και την ασθενή αλληλεπίδραση.
Σχήμα 1. (κλικ πάνω στην εικόνα για μεγέθυνση) Τα σωματίδια της ύλης μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις ομάδες: τα κουάρκ και αντι-κουάρκ , τα ηλεκτρικά φορτισμένα λεπτόνια  και τα αντι-λεπτόνια (, τα νετρίνα  και αντινετρίνα . Τα γλοιόνια (g) συζεύγνυνται με το χρωματικό φορτίο, το οποίο φέρουν μόνο τα κουάρκ, αντι-κουάρκ και τα ίδια τα γλοιόνια. Τα φωτόνια (γ) συζεύγνυνται με το ηλεκτρικό φορτίο, το οποίο φέρουν τα (αντι)κουάρκ και τα ηλεκτρικά φορτισμένα (αντι)λεπτόνια. Τα ασθενή μποζόνια (W−, W+ , Z0) συζεύγνυνται με το ασθενές φορτίο, το οποίο φέρουν όλα τα σωματίδια της ύλης. Τα ασθενή μποζόνια μπορούν επίσης να αλληλεπιδράσουν με τα φωτόνια (αλλά αυτή είναι μια καθαρά ασθενής αλληλεπίδραση, και όχι ηλεκτρομαγνητική). Και τέλος, το πεδίο Brout–Englert–Higgs αλληλεπιδρά με τα σωματίδια που έχουν μάζα (όλα τα σωματίδια, εκτός από τα γλοιόνια και τα φωτόνια).

Η διατύπωση του Καθιερωμένου Προτύπου της σωματιδιακής φυσικής ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1970 και μέχρι σήμερα έχει αντέξει σε όλες τις πειραματικές δοκιμασίες. Η πιο πρόσφατη επιτυχία ήταν η επαλήθευση του πεδίου Brout–Englert–Higgs από τα πειράματα ATLAS και CMS στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων στο CERN, το 2012. Και τα δυο πειράματα ανίχνευσαν με επιτυχία την κβαντισμένη διέγερση του πεδίου Brout–Englert–Higgs, το αποκαλούμενο μποζόνιο Higgs. Αυτό επιβεβαίωσε τον μηχανισμό Higgs, ο οποίος συσχετίζει τα στοιχειώδη σωματίδια με τις αντίστοιχες μάζες.
Θα μπορούσε κανείς να σκεφτεί ότι, δεδομένης αυτής της μεγάλης επιτυχίας, η κοινότητα της σωματιδιακής φυσικής θα έπρεπε να είναι χαρούμενη και ικανοποιημένη. Αλλά, στην πραγματικότητα συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο! Ενώ το Καθιερωμένο Πρότυπο της σωματιδιακής φυσικής παρέχει μια μοναδική και κομψή περιγραφή των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των στοιχειωδών σωματιδίων, υποτίθεται ότι αυτή η κβαντική θεωρία πεδίου είναι μόνο ένα κομμάτι μιας ευρύτερης θεωρίας.
Πράγματι, το Καθιερωμένο Πρότυπο της σωματιδιακής φυσικής περιγράφει μόνο το 5% περίπου του σύμπαντος. Δεν εξηγεί την σκοτεινή ύλη που αντιπροσωπεύει το 25% περίπου του σύμπαντος – για να μην μιλήσουμε για την σκοτεινή ενέργεια, η οποία αντιπροσωπεύει το υπόλοιπο 70% του σύμπαντος. Η περιγραφή τους μπορεί να επιτευχθεί μόνο με θεωρίες πέραν του Καθιερωμένου Προτύπου. Επομένως, κάθε ένδειξη ασυμφωνίας μεταξύ των προβλέψεων του Καθιερωμένου Προτύπου και των πειραματικών αποτελεσμάτων θα πυροδοτήσει τεράστιο ενθουσιασμό. Κυρίως όμως, θα επιτρέψει τους φυσικούς να ανανεώσουν και να τροποποιήσουν την μέχρι τώρα περιγραφή της φύσης.

2. Η Λαγκρανζιανή

Η μαθηματική διατύπωση του Καθιερωμένου προτύπου της σωματιδιακής φυσικής είναι περίπλοκη. Ωστόσο, όλες οι πληροφορίες κωδικοποιούνται σε μια συμπαγή περιγραφή – την αποκαλούμενη «Λαγκρανζιανή». Εντούτοις, αυτή η «συμπαγής» διατύπωση εξακολουθεί ακόμα να γεμίζει πολλές σελίδες[1]. Γι αυτό συνήθως εμφανίζεται μια εξαιρετικά σύντομη εκδοχή – τεσσάρων γραμμών – της Λαγκρανζιανής.
Αυτή η συγκεκριμένη έκφραση τραβά την προσοχή, κι όποιος επισκέπτεται το CERN δεν υπάρχει περίπτωση να μην διασταυρωθεί μαζί της σε κάποιο σημείο. Για παράδειγμα, το κατάστημα δώρων στο CERN πουλάει μπλουζάκια και κούπες καφέ (βλέπε εικόνα 2) στα οποία είναι τυπωμένη η συγκεκριμένη εκδοχή της Λαγκρανζιανής των τεσσάρων γραμμών.
Η περιγραφή των εννοιών φυσικής που εκφράζουν οι όροι αυτής της Λαγκρανζιανής σε κάθε ενδιαφερόμενο φοιτητή, αποτελεί μια ιδιαίτερη πρόκληση για τους καθηγητές φυσικής. Ως εκ τούτου, θεωρούμε χρήσιμο να δώσουμε μια ποιοτική περιγραφή του κάθε όρου της Λαγκρανζιανής, να εξηγήσουμε τις θεμελιώδεις διαδικασίες που εκφράζουν και να τους συσχετίσουμε με τα αντίστοιχα διαγράμματα Feynman.
Εικόνα 2. Η Λαγκρανζιανή του Καθιερωμένου Προτύπου σε μια κούπα καφέ

Τα διαγράμματα Feynman είναι οπτικές αναπαραστάσεις των μαθηματικών εκφράσεων που περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις των σωματιδίων. Αν και οι φυσικοί των σωματιδίων χρησιμοποιούν ένα σύνολο «κανόνων Feynman» για να μεταφράσουν ένα διάγραμμα σε μια μαθηματική έκφραση, το διάγραμμα από μόνο του είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για να απεικονίσουμε και να κατανοήσουμε αυτό που συμβαίνει σε μια συγκεκριμένη αλληλεπίδραση χωρίς να χρειαζόμαστε τα μαθηματικά.
Κάθε γραμμή σε ένα διάγραμμα Feynman παριστάνει ένα σωματίδιο, με διαφορετικά είδη γραμμών για τα διάφορα είδη σωματιδίων. Σ’ αυτό το άρθρο χρησιμοποιούμε επιπλέον διαφορετικά χρώματα για να υποδείξουμε τις σχετικές αλληλεπιδράσεις (βλέπε σχήματα 1 και 3). Έτσι, μια ευθεία μαύρη γραμμή με ένα βέλος συμβολίζει ένα σωματίδιο ύλης, μια κυματιστή κίτρινη γραμμή παριστάνει ή ένα φωτόνιο ή ένα ασθενές μποζόνιο, μια σπειροειδής πράσινη γραμμή αντιστοιχεί σε ένα γλοιόνιο και μια διακεκομμένη μπλε γραμμή σε ένα μποζόνιο Higgs. Ο άξονας του χρόνου σε ένα διάγραμμα Feynman έχει συνήθως οριζόντια διεύθυνση. Ωστόσο, η κατεύθυνση ανάγνωσης είναι σημαντική μόνο για την φυσική ερμηνεία, δεδομένου ότι όλες οι κορυφές μπορούν να περιστρέφονται αυθαίρετα.
Στη συνέχεια, θα διαβάζουμε όλα τα διαγράμματα Feynman από τα αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος του οριζόντιου άξονα του χρόνου: γραμμές που ξεκινούν από αριστερά παριστάνουν σωματίδια που υπήρχαν πριν την αλληλεπίδραση, και οι γραμμές που καταλήγουν δεξιά παριστάνουν τα σωματίδια μετά την αλληλεπίδραση. Το βέλος στις γραμμές των σωματιδίων ύλης δεν πρέπει να εκλαμβάνεται ως ένδειξη κατεύθυνσης κίνησης – δηλώνει μόνο ότι η γραμμή παριστάνει σωματίδιο (όταν το βέλος δείχνει προς τα δεξιά) ή ένα αντισωματίδιο (όταν το βέλος δείχνει προς τα αριστερά). Κάθε κορυφή, όπου συναντώνται τρεις ή τέσσερις γραμμές, παριστάνει μια αλληλεπίδραση μεταξύ των σωματιδίων. Υπάρχουν διαφόρων ειδών κορυφές για τις αλληλεπιδράσεις QED, QFD, QCD και BEH, και αυτές ολοκληρώνουν τα θεμελιώδη δομικά στοιχεία ενός διαγράμματος Feynman.
Επιπλέον, τα διαγράμματα Feynman είναι «ευλύγιστα»: οι γραμμές δεν πρέπει να θεωρούνται άκαμπτες, αλλά ως ένας συνδυασμός όλων των πιθανών διαδρομών που μπορεί να ακολουθήσει ένα σωματίδιο. Ως εκ τούτου, και οι επιμέρους γραμμές και τα διαγράμματα Feynman σαν σύνολο μπορούν ελεύθερα να περιστρέφονται.
Σχήμα 3. Μερικά παραδείγματα διαγραμμάτων Feynman που περιλαμβάνονται στον όρο –FμνFμν/4: αλληλεπίδραση γλοιονίου – γλοιονίου (κορυφή τριών γλοιονίων και τεσσάρων γλοιονίων), αλληλεπίδραση ασθενών μποζονίων και αλληλεπίδραση ασθενών μποζονίων – φωτονίου.


3. Τα στοιχεία της Λαγκρανζιανής

Το Καθιερωμένο Πρότυπο της σωματιδιακής φυσικής είναι μια κβαντική θεωρία πεδίου. Συνεπώς, τα θεμελιώδη στοιχεία του είναι κβαντικά πεδία και οι διεγέρσεις των εν λόγω πεδίων αναγνωρίζονται ως σωματίδια. Για παράδειγμα, η κβαντισμένη διέγερση του πεδίου του ηλεκτρονίου ερμηνεύεται ως ένα ηλεκτρόνιο. Κατά την γνώμη μας, όχι μόνον επιτρέπεται, αλλά είναι και ενδεδειγμένο να μιλάμε απευθείας για στοιχειώδη σωματίδια, αντί για διεγέρσεις πεδίων, όταν συζητάμε ποιοτικά τις βασικές αρχές σωματιδιακής φυσικής στο σχολείο.
Μια προειδοποίηση: όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η Λαγκρανζιανή είναι ένας εξαιρετικά συμπαγής συμβολισμός. Οι θεωρητικοί φυσικοί των σωματιδίων συνήθως γνωρίζουν πότε να αθροίσουν ανάλογα με τους δείκτες, τι σημαίνουν οι διάφορες συντομεύσεις και οι παράγωγοι, και πότε να θεωρήσουν κάθε μία από τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις. Όμως, στην τάξη της φυσικής είναι πολύ δύσκολο να επιτευχθεί μια κατανόηση υψηλού επιπέδου, γιατί απαιτούνται γνώσεις μαθηματικών που υπερβαίνουν κατά πολύ το επίπεδο του Λυκείου. Έτσι, θα εξετάσουμε μόνο την πολύ σύντομη Λαγκρανζιανή της εικόνας 2, όρο προς όρο, χωρίς να αναλύσουμε πως τα διαφορετικά πεδία συνδυάζονται μέσα στους όρους αυτούς.

3.1. Τι εκφράζει το σύμβολο ;

To συμβολίζει την Λαγκρανζιανή πυκνότητα, που είναι η πυκνότητα της Λαγκρανζιανής συνάρτησης σε ένα διαφορικό στοιχείο όγκου. Μ’ άλλα λόγια, η ορίζεται έτσι ώστε η Λαγκρανζιανή να είναι το ολοκλήρωμα στον της πυκνότητας: L=\int d^{3}x \mathcal{L}.
Το 1788, ο Joseph–Louis Lagrange εισήγαγε την Λαγκρανζιανή μηχανική, ως μια επαναδιατύπωση της κλασικής μηχανικής. Η μέθοδος αυτή επιτρέπει την περιγραφή της δυναμικής ενός δεδομένου κλασικού συστήματος χρησιμοποιώντας μόνο μια (βαθμωτή) συνάρτηση L=T-V, όπου Τ η κινητική ενέργεια και V η δυναμική ενέργεια του συστήματος, Η Λαγκρανζιανή χρησιμοποιείται μαζί με την αρχή της ελάχιστης δράσης για να ληφθούν οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος με έναν πολύ κομψό τρόπο.
Κατά τον χειρισμό των κβαντικών πεδίων, αντί για τα διακριτά σωματίδια της κλασικής μηχανικής, η Λαγκρανζιανή πυκνότητα περιγράφει την κινηματική και την δυναμική του κβαντικού συστήματος. Πράγματι, η Λαγκρανζιανή πυκνότητα της κβαντικής θεωρίας πεδίου μπορεί να συγκριθεί με την Λαγκρανζιανή συνάρτηση της κλασικής μηχανικής. Γι αυτό συνηθίζουμε να ονομάζουμε το μέγεθος απλά «Λαγκανζιανή».
3.2. Ο πρώτος όρος: -\frac{1}{4}\,{{F}_{\mu \nu}}{{F}^{\mu \nu}}

Αυτός ο όρος είναι το βαθμωτό γινόμενο του τανυστή ….. (συνεχίζεται)

Αναφορές

[1] Cottingham W N and Greenwood D A 2007 Standard Model Lagrangian An Introduction to the Standard Model of Particle Physics (Cambridge: Cambridge university Press) (https://doi.org/10.1017/CBO9780511791406)

[2] Next Generation Science Standards (NGSS) 2013 HS-PS1-8 matter and its interactions http://nextgenscience.org/

[3] International Baccalaureate Organization (IBO) 2007 Diploma programme. Physics—guide http://ibo.org

[4] Department for Education 2014 National curriculum in England. Science programmes of study: key stage 4 https://gov.uk/government/publications/national-curriculum-in-england-science-programmes-of-study

[5] ATLAS Collaboration 2015 Evidence for the Higgs–Boson Yukawa coupling to tau leptons with the ATLAS detector J. High Energy Phys. JHEP04(2015) 117

[6] Tanedo F 2010 Feynman diagrams and rules (quantum diaries) (http://quantumdiaries.org/2010/02/14/lets-draw-feynman-diagams)

Πηγές: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6552/aa5b25
http://home.cern/students-educators/updates/2017/04/sit-down-coffee-standard-model

Μετάφραση: https://physicsgg.me
Δημοσίευση σχολίου

Άλλα θέματα

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...