Τα μαθηματικά εξηγούν απίθανα συμβάντα, από θαύματα μέχρι και το να κερδίσει κανείς το λαχείο

Γιατί δεν θα έπρεπε να εκπλησσόμαστε όταν συμβαίνουν απίθανες συμπτώσεις, θαύματα και άλλα παράξενα συμβάντα – ακόμα και όταν οι ίδιοι έξι αριθμοί που κερδίζουν το λαχείο κληρώνονται δύο φορές διαδοχικά.

Εν συντομία

Αυτά που θεωρούμε ως εντελώς απίθανα στην πραγματικότητα συμβαίνουν γύρω μας διαρκώς. Ο μαθηματικός νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών καθώς και ο νόμος των συνδυασμών συμβάλουν στην εξήγησή τους.
Όταν σ' ένα δωμάτιο υπάρχουν μόνο 23 άνθρωποι, η πιθανότητα δύο απ' αυτούς να έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης είναι 0,51 – μεγαλύτερη από 50%.
Το λαχείο της Βουλγαρίας κλήρωσε τυχαία τους νικητήριους αριθμούς 4, 15, 23, 24, 35, 42 στις 6 Σεπτεμβρίου του 2009. Τέσσερις ημέρες αργότερα κλήρωσε και πάλι τους ίδιους αριθμούς. Το λαχείο Cash 5 της Βόρειας Καρολίνας έβγαλε τους ίδιους νικητήριους αριθμούς στις 9 και 11 Ιουλίου του 2007. Παράξενο; Όχι βάσει πιθανοτήτων.
Ένα σύνολο μαθηματικών νόμων που αποκαλώ Αρχές Απιθανότητας μας λέει ότι δεν θα έπρεπε να μας εκπλήσσουν οι συμπτώσεις. Για την ακρίβεια, θα έπρεπε να περιμένουμε να συμβαίνουν συμπτώσεις. Ένα από τα βασικά σκέλη της αρχής είναι ο νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών. Ο νόμος αυτός λέει ότι, δοθέντων αρκετών ευκαιριών, θα έπρεπε να περιμένουμε ένα συγκεκριμένο γεγονός να συμβεί, ασχέτως με το πόσο απίθανο είναι σε κάθε ευκαιρία χωριστά. Κάποιες φορές όμως, όταν υπάρχουν πραγματικά πολλές ευκαιρίες, μπορεί να φαίνεται σαν να υπάρχουν σχετικά λίγες. Αυτή η εσφαλμένη αντίληψη μας οδηγεί στο να υποτιμήσουμε υπερβολικά την πιθανότητα ενός συμβάντος: νομίζουμε ότι κάτι είναι εξαιρετικά απίθανο, ενώ στην πραγματικότητα είναι πολύ πιθανό, ίσως σχεδόν σίγουρο.
Πώς μπορεί ένα τεράστιο πλήθος ευκαιριών να υφίσταται χωρίς οι άνθρωποι να το αντιλαμβάνονται; Ο νόμος των συνδυασμών, ένα σκέλος της Αρχής της Απιθανότητας, μας δείχνει τον τρόπο. Λέει: ο αριθμός των συνδυασμών αλληλεπιδρώντων στοιχείων αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των στοιχείων. Το «πρόβλημα των γενεθλίων» είναι ένα πασίγνωστο παράδειγμα.
Το πρόβλημα των γενεθλίων θέτει την εξής ερώτηση: Πόσα άτομα πρέπει να βρίσκονται σ' ένα δωμάτιο ώστε η πιθανότητα δύο εξ αυτών να έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης να είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να μην συμβαίνει αυτό;
Η απάντηση είναι 23. Αν υπάρχουν 23 ή περισσότεροι άνθρωποι σ' ένα δωμάτιο, τότε το να έχουν 2 άτομα γενέθλια την ίδια μέρα είναι πιο πιθανό απ' το να μην συμβαίνει αυτό.
Αν δεν έχετε ξανακούσει το πρόβλημα των γενεθλίων, αυτό ίσως σας εκπλήσσει. Το 23 ίσως ακούγεται πολύ μικρός αριθμός. Ίσως να το αιτιολογήσατε ως εξής: Η πιθανότητα ένας άλλος άνθρωπος να έχει γενέθλια την ίδια μέρα μ' εμένα είναι μόλις 1⁄365. Επομένως, υπάρχει 364⁄365 πιθανότητα ένας συγκεκριμένος άνθρωπος να έχει γενέθλια διαφορετική ημέρα από εμένα. Εάν υπάρχουν n άνθρωποι στο δωμάτιο, με κάθε έναν από τους n-1 να έχει πιθανότητα 364⁄365 να έχει διαφορετική ημέρα γενέθλια από εμένα, τότε η πιθανότητα και οι n-1 να έχουν γενέθλια διαφορετική ημέρα από εμένα είναι 364⁄365 × 364⁄365 × 364⁄365 × … × 364⁄365 × 364⁄365, με τα 364⁄365 να πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους n-1 φορές. Αν το n είναι 23, αυτό ισούται με 0,94.
Επειδή αυτή είναι η πιθανότητα κανείς απ' αυτούς να μην έχει γενέθλια την ίδια ημέρα μ' εμένα, η πιθανότητα τουλάχιστον ένας να έχει γενέθλια την ίδια ημέρα μ' έμενα είναι μόλις 1 – 0,94. (Αυτό προκύπτει θεωρώντας ότι είτε κάποιος θα έχει γενέθλια την ίδια ημέρα μ' εμένα είτε όχι, οπότε οι πιθανότητες των δύο αυτών συμβάντων πρέπει να αθροίζουν στο 1.) Τώρα, 1 – 0,94 = 0,06. Αυτό είναι πολύ μικρό.
Όμως, αυτός είναι ο λάθος τρόπος υπολογισμού που μπορεί να ακολουθήσει κανείς, γατί αυτή η πιθανότητα – η πιθανότητα του να έχει κάποιος γενέθλια την ίδια ημέρα μ' εσάς – δεν είναι αυτό που ρώτησε η ερώτηση. Ρώτησε για την πιθανότητα οποιοιδήποτε δύο άνθρωποι στο ίδιο δωμάτιο να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα ο ένας με τον άλλο. Αυτό περιλαμβάνει την πιθανότητα ένας από τους άλλους να έχει γενέθλια την ίδια ημέρα μ' εσάς, που είναι αυτό που υπολόγισα προηγουμένως, αλλά περιλαμβάνει επίσης την πιθανότητα δύο ή περισσότεροι από τους άλλους ανθρώπους να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα, που είναι διαφορετική από τη δική σας.
Εδώ είναι το σημείο όπου οι συνδυασμοί αρχίζουν να επιδρούν. Ενώ υπάρχουν μόνο n-1 άνθρωποι που θα μπορούσαν να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα μ' εσάς, υπάρχουν συνολικά n × (n-1)⁄2 ζεύγη ατόμων στο δωμάτιο. Ο αριθμός των ζευγαριών μεγαλώνει ραγδαία όσο το n γίνεται μεγαλύτερο. Όταν το n ισούται με 23, γίνεται 253, που είναι περισσότερο από 10 φορές μεγαλύτερο απ' ότι για n-1=23. Με άλλα λόγια, εάν υπάρχουν 23 άνθρωποι στο δωμάτιο, υπάρχουν 253 πιθανά ζευγάρια ατόμων, αλλά μόνο 22 ζευγάρια περιλαμβάνουν εσάς.
Ας σκεφτούμε επομένως την πιθανότητα κανείς από τους 23 ανθρώπους στο δωμάτιο να μην έχει γενέθλια την ίδια ημέρα με κάποιον άλλο. Για δύο ανθρώπους, η πιθανότητα ο δεύτερος να μην έχει γενέθλια την ίδια ημέρα τον πρώτο είναι 364⁄365. Τότε η πιθανότητα αυτοί οι δύο να έχουν διαφορετικές ημερομηνίες γενέθλια και ένας τρίτος να μην έχει κοινή ημερομηνία γενεθλίων με κανέναν από τους δύο είναι 364⁄365 × 363⁄365. Παρομοίως, η πιθανότητα αυτοί οι τρεις να μην έχουν γενέθλια διαφορετικές ημέρες και ένας τέταρτος να μην έχει κοινή ημερομηνία γενεθλίων με κανέναν από τους πρώτους τρεις είναι 364⁄365 × 363⁄365 × 362⁄365. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, η πιθανότητα κανείς από τους 23 ανθρώπους να μην έχει κοινή ημερομηνία γενεθλίων με κάποιον άλλο, είναι 364⁄365 × 363⁄365 × 362⁄365 × 361⁄365 × … × 343⁄365.
Αυτό ισούται με 0,49. Επειδή η πιθανότητα κανείς από τους 23 ανθρώπους να μην έχει κοινή ημερομηνία γενεθλίων με κάποιον άλλο είναι 0,49, η πιθανότητα κάποιοι απ' αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι 1 – 0,49, ή 0,51, που είναι μεγαλύτερη απ' το μισό.


Το να κερδίσεις το λαχείο

Για ένα ακόμα παράδειγμα του πώς ένα φαινομενικά απίθανο συμβάν είναι στην πραγματικότητα αρκετά πιθανό, ας σκεφτούμε τα λαχεία. Στις 6 Σεπτεμβρίου του 2009, το λαχείο της Βουλγαρίας επέλεξε στην τύχη ως νικητήριους αριθμούς τους 4, 15, 23, 24, 35, 42. Δεν υπάρχει τίποτα που να μας εκπλήσσει σχετικά μ' αυτούς τους αριθμούς. Τα ψηφία που συνθέτουν τους αριθμούς έχουν όλα μικρές τιμές – 1, 2, 3, 4 ή 5 – αλλά αυτό δεν είναι και τόσο ασυνήθιστο. Επίσης, υπάρχει ένα ζευγάρι διαδοχικών αριθμών, 23 και 24, παρόλο που αυτό συμβαίνει πολύ πιο συχνά απ' ότι εκτιμάται γενικά (αν ζητήσετε από ανθρώπους να διαλέξουν στην τύχη έξι αριθμούς από το 1 ως το 49, για παράδειγμα, επιλέγουν διαδοχικούς αριθμούς πολύ πιο σπάνια απ' ότι η καθαρή πιθανότητα).
Αυτό που ήταν εκπληκτικό ήταν αυτό που συνέβη τέσσερις ημέρες αργότερα: στις 10 Σεπτεμβρίου, το λαχείο της Βουλγαρίας επέλεξε τυχαία ως νικητήριους αριθμούς τους 4, 15, 23, 24, 35, 42 – ακριβώς τους ίδιους αριθμούς με την προηγούμενη εβδομάδα. Το συμβάν προκάλεσε μεγάλη αναταραχή στα μέσα μαζικής ενημέρωσης εκείνη την εποχή. «Αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά στα 52 χρόνια του λαχείο. Είμαστε σοκαρισμένοι από αυτή την σπάνια σύμπτωση, αλλά να που συνέβη», φαίνεται να είπε ένας εκπρόσωπος σ' ένα άρθρο στο Reuters στις 18 Σεπτεμβρίου. Ο τότε υπουργός αθλητισμού της Βουλγαρίας, Svilen Neikov ζήτησε να πραγματοποιηθεί έρευνα. Θα μπορούσε να είχε διαπραχθεί μια τεράστια απάτη; Είχαν αναπαραχθεί με κάποιο τρόπο οι προηγούμενοι αριθμοί;
Στην πραγματικότητα, αυτή η σοκαριστική σύμπτωση ήταν απλός ένα ακόμα παράδειγμα της Αρχής της Απιθανότητας, με τη μορφή του νόμου των πραγματικά μεγάλων αριθμών ενισχυμένου από τον νόμο των συνδυασμών. Πρώτα απ' όλα, πολλές λοταρίες πραγματοποιούνται ανά τον κόσμο. Δεύτερον, πραγματοποιούνται ξανά και ξανά και χρόνο με το χρόνο. Αυτό πολύ γρήγορα δημιουργεί έναν μεγάλο αριθμό ευκαιριών να επαναληφθούν οι αριθμοί των λαχείων. Και τρίτον, ο νόμος των συνδυασμών τίθεται σε ισχύ: κάθε φορά που ένα αποτέλεσμα κληρώνεται, θα μπορούσε να περιέχει τους ίδιους αριθμούς με οποιαδήποτε από τις προηγούμενες κληρώσεις. Γενικά, όπως με την περίπτωση των γενεθλίων, αν πραγματοποιήσετε μια λοταρία n φορές, υπάρχουν n × (n-1)⁄2 ζευγάρια από κληρώσεις λαχείων που θα μπορούσαν να έχουν μια κοινή ακολουθία αριθμών.
Το λαχείο της Βουλγαρίας που επανέλαβε τους αριθμούς το 2009 είναι μία κλήρωση 6 από 49 αριθμούς, επομένως η πιθανότητα ενός οποιουδήποτε συνόλου 6 αριθμών να εμφανιστούν είναι 1 στις 13.983.816. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα δύο οποιεσδήποτε κληρώσεις να ταυτίζονται είναι 1 προς 13.983.816. Αλλά τι γίνεται με την πιθανότητα να ταιριάζουν κάποιες 2 μεταξύ 3 κληρώσεων; ‘Η με την πιθανότητα κάποιες 2 κληρώσεις μεταξύ 50 να ταυτίζονται;
Υπάρχουν τρία πιθανά ζευγάρια μεταξύ τριών κληρώσεων αλλά 1225 μεταξύ 50 κληρώσεων. Ο νόμος των συνδυασμών μπαίνει στο παιχνίδι. Αν το πάμε ακόμα παραπέρα, μεταξύ 1000 κληρώσεων, υπάρχουν 499.500 πιθανά ζεύγη. Με άλλα λόγια, αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό των κληρώσεων επί 20, αυξάνοντάς τον από 50 σε 1000, η επίδραση στον αριθμό των ζευγαριών είναι ακόμα μεγαλύτερη, πολλαπλασιάζοντάς τον περίπου επί 408 και αυξάνοντάς τον από 1225 σε 499.500. Μπαίνουμε στη σφαίρα των πραγματικά μεγάλων αριθμών.
Πόσες κληρώσεις θα χρειαζόντουσαν ώστε η πιθανότητα να κληρωθούν οι ίδιοι έξι αριθμοί δύο φορές να γίνει μεγαλύτερη από ½ - ώστε αυτό το συμβάν να γίνει πιο πιθανό από το αντίθετο; Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιήσαμε και στο πρόβλημα των γενεθλίων καταλήγουμε στις 4404.
Αν κάθε εβδομάδα πραγματοποιούνται δύο κληρώσεις, δηλαδή 104 το χρόνο, αυτός ο αριθμός κληρώσεων θα χρειαστεί λιγότερα από 43 χρόνια. Αυτό σημαίνει ότι μετά από 43 χρόνια, είναι πιο πιθανό κάποια δύο από τα σύνολα των έξι αριθμών που κληρώνονται από τα μηχανήματα της λοταρίας να έχουν ταυτιστεί απ' ότι είναι το αντίθετο. Αυτό δίνει μια διαφορετική χροιά στο σχόλιο του Βούλγαρου εκπροσώπου ότι ήταν μία σπάνια σύμπτωση!
Και αυτά είναι μόνο για ένα λαχείο. Λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό των λοταριών ανά τον κόσμο, θα βλέπαμε ότι θα ήταν εντυπωσιακό αν οι κληρώσεις δεν επαναλαμβάνονταν περιστασιακά. Επομένως, δεν θα εκπλαγείτε μαθαίνοντας ότι στο κρατικό λαχείο Mifal HaPayis του Ισραήλ, οι αριθμοί που κληρώθηκαν στις 16 Οκτωβρίου του 2010 – 13, 14, 26, 32, 33, 36 – ήταν ακριβώς ίδιοι με αυτούς που είχαν κληρωθεί μερικές εβδομάδες νωρίτερα, στις 21 Σεπτεμβρίου. Δεν θα εκπλαγείτε μαθαίνοντας το, αλλά πληθώρα ανθρώπων κατέκλισαν τα ραδιοφωνικά προγράμματα του Ισραήλ με τηλεφωνήματα παραπονούμενοι ότι η κλήρωση ήταν στημένη.
Τα αποτελέσματα της λοταρίας της Βουλγαρίας ήταν ασυνήθιστα λόγω του ότι τα ταυτόσημα σύνολα αριθμών εμφανίστηκαν σε δύο διαδοχικές κληρώσεις. Αλλά ο νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι πραγματοποιούνται πολλές λοταρίες ανά τον κόσμο που συχνά κληρώνουν τους αριθμούς τους, σημαίνουν ότι δεν θα έπρεπε να εκπλησσόμαστε τόσο – και επομένως να μην ξαφνιαζόμαστε ακούγοντας ότι κάτι τέτοιο έχει ξανασυμβεί στο παρελθόν. Για παράδειγμα, το λαχείο Cash 5 της Βόρειας Καρολίνα ανέδειξε τους ίδιους νικητήριους αριθμούς στις 9 και 11 Ιουλίου του 2007.
Άλλος ένας, μάλλον απογοητευτικός τρόπος με τον οποίο ο νόμος των συνδυασμών μπορεί να παράξει ταυτόσημα αποτελέσματα κληρώσεων απεικονίζεται στο τι συνέβη στην Maureen Wilcox το 1980. Αγόρασε λαχνούς που περιείχαν τους νικητήριους αριθμούς τόσο για το κρατικό λαχείο την Μασαχουσέτης όσο και για το λαχείο του Ρόουντ Άιλαντ. Δυστυχώς για εκείνη, όμως, οι λαχνοί για την λοταρία της Μασαχουσέτης είχαν τους νικητήριους αριθμούς του λαχείου του Ρόουντ Άιλαντ και το ανάποδο. Αν αγοράσετε λαχνούς για δέκα λαχεία, έχετε 10 ευκαιρίες να κερδίσετε. Αλλά 10 λαχνοί σημαίνει 45 ζευγάρια λαχνών, οπότε η πιθανότητα ένας από τους 10 λαχνούς να ταιριάξει με τα αποτέλεσμα μίας από τις 10 κληρώσεις, είναι πάνω από τέσσερις φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητά σας να κερδίσετε. Για προφανείς λόγους, αυτή δεν είναι η συνταγή για να αποκτήσετε μια τεράστια περιουσία, γιατί το να ταιριάζει ο λαχνός για ένα λαχείο με το αποτέλεσμα την κλήρωσης μίας άλλης λοταρίας δεν σας αποφέρει κάποιο κέρδος – πέρα από την υποψία ότι το σύμπαν σας κάνει πλάκα.
Ο νόμος των συνδυασμών εφαρμόζεται όταν υπάρχουν πολλοί άνθρωποι ή αντικείμενα που αλληλεπιδρούν. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι έχουμε μια τάξη με 30 μαθητές. Μπορούν να αλληλεπιδράσουν με διάφορους τρόπους. Μπορούν να δουλέψουν ξεχωριστά - είναι 30, μπορούν να δουλέψουν σε ζευγάρια – υπάρχουν 435 διαφορετικά ζευγάρια, μπορούν να δουλέψουν σε τριάδες – υπάρχουν 4060 δυνατές διαφορετικές τριάδες, και ούτω καθεξής, μέχρι να φτάσουν να δουλέψουν όλοι μαζί, φυσικά – υπάρχει ένα δυνατό σύνολο με τους 30 μαθητές να δουλεύουν όλοι μαζί.
Συνολικά, ο αριθμός των διαφορετικών δυνατών ομάδων μαθητών που θα μπορούσαν να σχηματιστούν είναι 1.073.741.823. Περισσότερες δηλαδή από ένα δισεκατομμύριο, όλες μόνο από 30 μαθητές. Γενικά, εάν ένα σύνολο έχει n στοιχεία, υπάρχουν 2n - 1 πιθανά υποσύνολα που θα μπορούσαν να σχηματιστούν. Εάν το n = 100, το αποτέλεσμα είναι 2100 – 1, που είναι περίπου ίσο με 1030, ένας πραγματικά μεγάλος αριθμός με οποιοδήποτε κριτήριο.
Αλλά ακόμα κι αν το 1030 δεν είναι αρκετά μεγάλο για εσάς, σκεφτείτε τις επιπτώσεις του παγκόσμιου ιστού, που έχει περίπου 2.5 δισεκατομμύρια χρήστες, εκ των οποίων όλοι μπορούν να αλληλεπιδράσουν με όλους. Αυτό μας δίνει 3 × 1018 ζευγάρια και 10750.000.000 δυνατές ομάδες αλληλεπιδρώντων μελών. Ακόμα και συμβάντα με πολύ μικρές πιθανότητες γίνονται σχεδόν βέβαια εάν τους δώσεις τόσες πολλές ευκαιρίες να συμβούν.
Την επόμενη φορά που θα αντιμετωπίσετε κάποια φαινομενικά παράξενη σύμπτωση, να σκεφτείτε την Αρχή της Απιθανότητας.

****

Ευχαριστούμε για τη μετάφραση την Φωτεινή Πατρώνα

Πηγή: https://www.o-klooun.com

Το άρθρο αυτό αρχικά δημοσιεύτηκε με τίτλο "Never Say Never" (Ποτέ μην λες ποτέ) . Διασκευασμένο από το The Improbabilty Principle: Why Coincidences, Miracles, and Rare Events Happen Every Day, του David J. Hand, σε συμφωνία με τις Scientific American/Farrar, Straus and Giroux, LLC (North America), Transworld (UK), Ambo|Anthos (Holland), C.H. Beck (Germany), Companhia das Letras (Brazil), Grupa Wydawnicza Foksal (Poland), Locus Publishing Co. (Taiwan), AST (Russia). Copyright © 2014 David J. Hand.