Το πρόβλημα των τριών σωμάτων και το πρόβλημα των δύο ελκτικών κέντρων
Με την ευκαιρία της επανόδου στην επικαιρότητα του προβλήματος των τριών σωμάτων, σκέφθηκα ότι θα ήταν ενδιαφέρουσα μία λίγο διαφορετική από τις κλασικές θεώρηση.
Αφού ο Νεύτωνας διατύπωσε τον δεύτερο νόμο της κίνησης, σκέφθηκε να τον εφαρμόσει στην κίνηση των πλανητών. Έχοντας την εμπειρία της επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης της κίνησης για διάφορες μορφές της δύναμης, διαπίστωσε ότι οι λύσεις της εξίσωσης ήταν ελλείψεις με τον Ήλιο στη μία εστία (όπως ακριβώς προέβλεπαν οι νόμοι του Κέπλερ), όταν η δύναμη είναι ανάλογη προς το αντίστροφο του τετραγώνου της απόστασης μεταξύ των δύο σωμάτων, του Ήλιου και κάθε πλανήτη ξεχωριστά. Έτσι πέτυχε δύο μεγάλα βήματα στην ολοκλήρωση της Μηχανικής:Ερμήνευσε τους νόμους του Κέπλερ, οι οποίοι μέχρι τότε είχαν έναν καθαρά κινηματικό-γεωμετρικό χαρακτήρα, με τη βοήθεια των νόμων της Δυναμικής.
Κατάργησε τη διάκριση μεταξύ των επίγειων και ουράνιων σωμάτων, που είχε εισαγάγει ο Αριστοτέλης, δείχνοντας ότι οι ίδιοι ακριβώς νόμοι της Φυσικής ισχύουν τόσο για τα μεν όσο και για τα δε.
Με άλλα λόγια το ίδιο είδος δύναμης, που οδηγεί τη Σελήνη σε τροχιά γύρω από τη Γη και τη Γη γύρω από τον Ήλιο, είναι και αυτό που έλκει τα σώματα προς το κέντρο της Γης, δίνοντάς τους αυτήν την ιδιότητα που ονομάζουμε «βάρος».
Ο Νεύτωνας έλυσε τις εξισώσεις κίνησης υπό την επίδραση βαρυτικών δυνάμεων για δύο περιπτώσεις, και στις δύο υποθέτοντας ότι τα σώματα έχουν σφαιρική συμμετρία, οπότε μπορεί να θεωρηθούν ως υλικά σημεία. Στην πρώτη θεώρησε ότι το ένα από τα δύο σώματα, ο Ήλιος, έχει πρακτικά άπειρη μάζα, οπότε μένει ακίνητο και το δεύτερο περιφέρεται γύρω του. Στη δεύτερη θεώρησε ότι και τα δύο σώματα έχουν πεπερασμένη μάζα, οπότε το καθένα κινείται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας. Το δεύτερο ονομάζεται «πρόβλημα των δύο σωμάτων» ενώ το πρώτο θα μπορούσε να ονομαστεί «πρόβλημα του ενός σώματος». Ο Νεύτωνας βρήκε ότι οι λύσεις και των δύο προβλημάτων, για αρνητικές τιμές της ολικής ενέργειας, είναι γεωμετρικά όμοιες ελλείψεις, με συντελεστή αναλογίας στη δεύτερη περίπτωση το λόγο της μάζας του ενός σώματος προς το άθροισμα των μαζών των δύο. Από την απλότητα αυτών των λύσεων υπέθεσε ότι θα ήταν σχετικά εύκολο να βρεθεί και η γενική λύση του προβλήματος των τριών σωμάτων, ως ένα ενδιάμεσο βήμα προς την κατασκευή λύσεων για περισσότερα σώματα, όσα για παράδειγμα έχει το Ηλιακό Σύστημα, δεν προχώρησε όμως στην αναζήτηση τέτοιας λύσης. Η πλήρης λύση του προβλήματος των δύο σωμάτων, για οποιαδήποτε τιμή της συνολικής ενέργειας, δόθηκε από τον Γιόχαν Μπερνούλι (Johann Bernoulli, 1667 – 1748) το 1710 και από τότε η προσπάθεια για την εύρεση της λύσης του προβλήματος των τριών σωμάτων ταλαιπώρησε πολλούς αξιόλογους αστρονόμους και μαθηματικούς, έως ότου ο Ανρί Πουανκαρέ (Jules Henri Poincaré, 1854-1912), στο τέλος του 19ου αιώνα, απέδειξε ότι τέτοια λύση δεν είναι δυνατό να βρεθεί στο πλαίσιο των αναλυτικών συναρτήσεων. Η απόδειξη αυτή ήταν η αρχή της Θεωρίας του Χάους.
Ένας από τους μαθηματικούς που δοκίμασαν την τύχη τους στην επίλυση του προβλήματος των τριών σωμάτων ήταν ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler, 1707-1783), ο οποίος προσέγγισε το πρόβλημα με έναν πρωτότυπο τρόπο. Η βασική εφαρμογή του προβλήματος των τριών σωμάτων ήταν εξαρχής η κίνηση των πλανητών του Ηλιακού Συστήματος. Σε αυτό το σύστημα το δεύτερο σε μάζα σώμα μετά τον Ήλιο είναι ο Δίας, ο οποίος κινείται αργά στην τροχιά του. Ο Όιλερ λοιπόν σκέφτηκε να θεωρήσει, ως πρώτη προσέγγιση, ότι ο Δίας είναι ακίνητος, και με αυτή την υπόθεση, που είναι γνωστή ως «πρόβλημα των δύο ελκτικών κέντρων», μπόρεσε να δείξει ότι το πρόβλημα είναι επιλύσιμο, δυστυχώς όμως όχι με στοιχειώδεις συναρτήσεις. Αυτό το αποτέλεσμα παρέμεινε ως ένα «μαθηματικό αξιοπερίεργο», έως ότου η ομάδα μου έδειξε το 2004 ότι, στην περίπτωση που τα δύο μεγάλα σώματα έχουν φυσικές διαστάσεις, το τρίτο σώμα συγκρούεται σε πεπερασμένο χρόνο με ένα από τα δύο μεγάλα αν η τροχιά του δεν τα περιβάλλει. Άρα το πρόβλημα των δύο ελκτικών κέντρων δεν είναι μεν χαοτικό, είναι όμως ασταθές. Έτσι «κλείσαμε» ένα πρόβλημα που είχε παραμείνει ανοικτό για 200 χρόνια.
Πηγή:https://ylikonet.gr/
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου